El lector recordará también que una de las operaciones más frecuentes en el razonamiento matemático es sustituir una cantidad por su igual, según se conozca por condiciones asumidas, naturales o evidentes por sí mismas.
Siempre que una cantidad aparezca dos veces en un problema, podemos aplicar lo que aprendemos de sus relaciones en un lugar a sus relaciones en el otro.
Todo razonamiento en matemáticas, al igual que en otras ramas de la ciencia, implica así el principio de tratar a los iguales por igual, o a los similares de manera similar.
De cualquier modo que empleemos el razonamiento cuantitativo en las partes restantes de esta obra, nunca podremos abandonar el principio simple con el que comenzamos.
# Razonamiento por desigualdades.
He afirmado que todos los procesos del razonamiento matemático pueden deducirse del principio de sustitución.
Parecen existir excepciones a esta afirmación en el uso de las desigualdades. El mayor de un mayor es indudablemente mayor, y lo que es menor que un menor es ciertamente menor. Snowdon es más alto que Wrekin, y Ben Nevis que Snowdon; por lo tanto, Ben Nevis es más alto que Wrekin.
Pero una breve reflexión revela razones suficientes para creer que incluso en tales casos, donde la igualdad aparentemente no interviene, la fuerza del razonamiento depende enteramente de igualdades subyacentes e implícitas.
En primer lugar, dos afirmaciones de mera diferencia no dan pie a ninguna inferencia. No aprendemos nada acerca de las alturas comparativas de la catedral de San Pablo y la abadía de Westminster a partir de las afirmaciones de que ambas difieren en altura respecto a San Pedro de Roma. Necesitamos algo más que desigualdad; requerimos una identidad adicional, a saber, la identidad en la dirección de las dos diferencias.
Así, no podemos emplear desigualdades del modo simple en que lo hacemos con las igualdades y, cuando intentamos expresar qué otras condiciones son necesarias, nos encontramos cayendo en el uso de igualdades o identidades.
En segundo lugar, todo razonamiento por desigualdades puede representarse bajo la forma de igualdades. Expresamos que a es mayor que b mediante la ecuación en la que p es una cantidad intrínsecamente positiva, que denota la diferencia entre a y b. De manera similar, expresamos que b es mayor que c mediante la ecuación y, al sustituir b en (1) por su valor en (2), obtenemos