consiguiente sabemos, sin realizar las sumas, que las sumas sucesivas deben ser 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc., lo mismo que el número de combinaciones en el Alfabeto Lógico. En términos generales, la suma de los números en la línea n -ésima será 2 n –1 .
Nuevamente, si se suman todos los números hasta cualquier línea inclusive, obtendremos un número menor en una unidad que alguna potencia de 2; así, la primera línea da 1 o 21–1; las primeras dos líneas dan 3 o 22–1; las primeras tres líneas, 7 o 23–1; las primeras seis líneas dan 63 o 26–1; o, hablando en términos generales, la suma de las primeras n líneas es 2n–1.
De ello se deduce que la suma de los números de cualquier línea es igual a la suma de los de todas las líneas precedentes aumentada en una unidad. Pues la suma de la línea n-ésima es, como ya se ha demostrado, 2n–1, y la suma de las primeras n - 1 líneas es 2n–1–1, o menor en una unidad.
Esta exposición de las propiedades de los números figurados no pretende ser exhaustiva; se podría rastrear un número considerable, probablemente ilimitado, de relaciones menos simples y obvias. Pascal, tras exponer muchas de las propiedades, exclama10:
“Mais j’en laisse bien plus que je n’en donne; c’est une chose étrange combien il est fertile en propriétés! Chacun peut s’y exercer.”
El triángulo aritmético puede considerarse una clasificación natural de los números, que muestra, de la manera más completa, su evolución y sus relaciones desde un determinado punto de vista. Es obvio que en una extensión ilimitada del triángulo, cada número, con la única excepción del número dos, ocupa al menos dos lugares.
Aunque las propiedades explicadas anteriormente son sumamente curiosas, el mayor valor del triángulo surge del hecho de que contiene una exposición completa de los valores de la fórmula (pág. 182), para los números de combinaciones de m elementos tomados de n en n, para todos los valores posibles de m y n.
De siete elementos, uno puede elegirse de siete maneras, y el siete aparece en la octava línea de la segunda columna. Las combinaciones de dos elementos tomados de siete son 7 × 6/1 × 2 o 21, que es el tercer número de la octava línea. Las combinaciones de tres elementos tomados de siete son 7 × 6 × 5/1 × 2 × 3 o 35, que aparece en cuarto lugar en la octava línea.
De manera similar, en las columnas quinta, sexta, séptima y octava de la octava línea encuentro indicado de cuántas maneras puedo seleccionar combinaciones de 4, 5, 6 y 7 elementos de un total de 7. Al pasar a la novena línea, encuentro sucesivamente el número de maneras en que puedo seleccionar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 elementos de un total de 8.
En términos generales, si deseo saber de cuántas maneras se pueden seleccionar m elementos en combinaciones a partir de n elementos, debo buscar en la línea n + 1ta y tomar como respuesta el número m + 1to.
¿De cuántas maneras, por ejemplo, se puede elegir un subcomité de cinco personas a partir de un comité de nueve?
La respuesta es 126, y es el sexto número de la décima línea; se verá que es igual a 9 . 8 . 7 . 6 . 5/1 . 2 . 3 . 4 . 5, que es lo que proporciona nuestra fórmula (pág. 182).