aproximación a la verdad. Pero existen tres vías principales a través de las cuales se ha llegado a esta ley, empleadas respectivamente por Gauss, por Laplace y Quetelet, y por sir John Herschel. * Gauss parte en gran medida de una suposición; * Herschel se apoya en consideraciones geométricas; * mientras que Laplace y Quetelet consideran que la Ley de los Errores es un desarrollo de la doctrina de las combinaciones. Un buen número de otros matemáticos, como Adrain de Nuevo Brunswick, Bessel, Ivory, Donkin, Leslie Ellis, Tait y Crofton, han intentado demostraciones independientes o bien han modificado o comentado las que aquí se van a describir. Para obtener relatos completos de la bibliografía sobre el tema, el lector debe remitirse ya sea a la obra History of the Theory of Probability del señor Todhunter o a la excelente memoria del
Según Gauss, la Ley de Errores expresa la probabilidad comparativa de errores de varias magnitudes y, en parte a partir de la experiencia, en parte a partir de consideraciones à priori, podemos establecer fácilmente ciertas condiciones a las que la ley ciertamente se ajustará.
Puede asumirse razonablemente como un primer principio que nos guíe en la selección de la ley que los errores grandes serán mucho menos frecuentes y probables que los pequeños. Sabemos que los errores muy grandes son casi imposibles, de modo que la probabilidad debe disminuir rápidamente a medida que aumenta la magnitud del error.
Un segundo principio es que los errores positivos y negativos sean igualmente probables, lo cual ciertamente puede asumirse, puesto que se supone que carecemos de cualquier conocimiento sobre las causas de los errores residuales. De ello se deduce que la probabilidad del error debe ser una función de una potencia par de la magnitud, es decir, del cuadrado, o de la cuarta potencia, o de la sexta potencia; de lo contrario, la probabilidad de la misma cantidad de error variaría según el error fuera positivo o negativo. Las potencias pares x2, x4, x6, etc., son siempre intrínsecamente positivas, ya sea x positiva o negativa.
No hay ninguna razón à priori por la cual deba seleccionarse una de estas potencias pares en lugar de otra. El propio Gauss admite que la cuarta o la sexta potencia cumplirían las condiciones tan bien como la segunda;4 pero, a falta de cualquier razón teórica, deberíamos preferir la segunda potencia, porque conduce a fórmulas de gran simplicidad comparativa. Si la Ley de Errores exigiera el uso de las potencias superiores del error, la complejidad de los cálculos necesarios reduciría en gran medida la utilidad de la teoría.
Mediante un razonamiento matemático que no sería deseable intentar seguir en este libro, se demuestra que bajo estas condiciones, la facilidad de ocurrencia, o en otras palabras, la probabilidad de error, se expresa mediante una función de la forma general ε – h 2 x 2 , en la cual x representa la cantidad variable de errores. De esta ley, que se describirá con más detalle en las secciones siguientes, se deduce inmediatamente que el resultado más probable de cualquier observación es aquel que hace que la suma de los cuadrados de los errores consecuentes sea la menor posible. Sean a , b , c , etc., los resultados de la observación, y x la cantidad seleccionada como la más probable, es decir, la más libre de errores desconocidos: entonces debemos determinar x de modo que ( a - x ) 2 + ( b - x ) 2 + ( c - x ) 2 + . . . sea la cantidad menor posible.