A matemático no le parecería digno de mención que si x = y, entonces también y = x. No consideraría que se trata de dos ecuaciones en absoluto, sino de una sola ecuación escrita accidentalmente de dos maneras diferentes.
En los símbolos escritos, uno de los dos nombres debe ir primero y el otro segundo, y tal vez deba observarse una sucesión similar en nuestros pensamientos: pero en la relación de identidad no hay necesidad de sucesión en el orden (véase la pág. 33), cada uno es simultáneamente igual e idéntico al otro. Estas observaciones serán válidas tanto para la identidad lógica como para la matemática; de modo que consideraré que las dos formas expresan exactamente la misma identidad escrita de manera diferente.
Toda necesidad de reglas de conversión desaparece, y no habrá una sola proposición en el sistema que no pueda escribirse con cualquiera de los dos extremos al frente. Así, A = AB es lo mismo que AB = A, aC = bC es lo mismo que bC = aC, y así sucesivamente.
Las mismas observaciones son parcialmente ciertas respecto a las diferencias y desigualdades, las cuales son también recíprocas en la medida en que una cosa no puede diferir de una segunda sin que la segunda difiera de la primera. Marte difiere en color de Venus, y Venus debe diferir de Marte. La Tierra difiere de Júpiter en densidad; por lo tanto, Júpiter debe diferir de la Tierra.
Hablando en general, si A ~ B, también tendremos B ~ A, and estas dos formas pueden considerarse expresiones de la misma diferencia. Pero la relación entre las cosas que difieren no es totalmente recíproca. La densidad de Júpiter no difiere de la de la Tierra del mismo modo que la de la Tierra difiere de la de Júpiter.
El cambio de sensación que experimentamos al pasar de Venus a Marte no es el mismo que experimentamos al regresar a Venus, sino de naturaleza justamente opuesta. El color del cielo es más claro que el del océano; por lo tanto, el del océano no puede ser más claro que el del cielo, sino más oscuro.
En estos y en todos los casos similares adquirimos una noción de dirección o carácter de cambio, y puede demostrarse que resultados de enorme importancia se basan en esta noción. Por el momento nos ocuparemos del mero hecho de que la identidad exista o no exista.