lógica especificada de las cosas no debe verse afectada por las diferencias numéricas no especificadas. Sería palpablemente absurdo un cálculo que, tras comenzar con longitud, diera un resultado en horas. Es igualmente absurdo, desde un punto de vista puramente aritmético, deducir áreas a partir del cálculo de longitudes, masas a partir de la combinación de volumen y densidad, o momentos a partir de masa y velocidad. Quedará para su posterior consideración decidir en qué sentido podemos decir verdaderamente que dos pies lineales multiplicados por dos pies lineales dan cuatro pies superficiales; aritméticamente es absurdo, porque hay un cambio de unidad.
Como regla general, tratamos en cada cálculo únicamente objetos de una misma naturaleza. No sumamos, y propiamente no podemos sumar en una misma operación yardas de tela y libras de azúcar. Ni siquiera podemos concebir el resultado de sumar área a velocidad, o longitud a densidad, o peso a valor. Las unidades sumadas deben tener una base de homogeneidad, o deben ser reducibles a algún denominador común.
Sin embargo, es posible, y de hecho común, tratar en un cálculo complejo las cantidades más heterogéneas, con la condición de que cada tipo de objeto se mantenga diferenciado, y se trate numéricamente solo en conjunción con su propia especie.
Las diferentes unidades, en la medida en que se especifican sus diferencias lógicas, no deben sustituirse jamás unas por otras. Los químicos utilizan continuamente ecuaciones que afirman la equivalencia de grupos de átomos. La fermentación ordinaria está representada por la fórmula
Tres clases de unidades, los átomos de carbono, hidrógeno y oxígeno respectivamente, se entremezclan aquí, pero en realidad existe una ecuación separada con respecto a cada clase.
Los matemáticos también emplean ecuaciones compuestas de la misma clase; pues en a + b √ - 1 = c + d √ - 1, es imposible mediante la adición ordinaria sumar a a b √ -1. De ahí que en realidad tengamos las ecuaciones separadas a = b, y c √ - 1 = d √ - 1.
Del mismo modo, una ecuación entre dos cuaterniones es equivalente a cuatro ecuaciones entre cantidades ordinarias, de donde en verdad proviene el nombre cuaternión.
Analogía de los términos lógicos y numéricos.
Si mi afirmación de que el número surge de condiciones lógicas es correcta, deberíamos encontrar que el número obedece a todas las leyes de la lógica. Es casi superfluo señalar que este es el caso con las leyes fundamentales de la identidad y la diferencia, y solo queda por mostrar que los símbolos matemáticos realmente obedecen a las condiciones especiales de los símbolos lógicos que se señalaron anteriormente (p. 32).
Así, la Ley de Conmutatividad es igualmente verdadera para la cualidad y la cantidad. Como en la lógica tenemos, así en las matemáticas es bien sabido que
Las propiedades del espacio son tan indiferentes en la multiplicación como las encontramos en el pensamiento lógico puro.