AB a su negativo, o al intercambiar A y B, a y b, obtenemos nada menos que ocho variedades diferentes de una misma forma;
| 12.° caso. | 8.° caso. | 15.º caso. | 14.° caso. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A = | AB | A = | A b | a = | a B | a = | ab |
| b = | ab | B = | a B | b = | A b | B = | AB |
El lector de las secciones precedentes verá que cada proposición de la línea inferior es lógicamente equivalente a, y es de hecho la contrapositiva de, la que tiene encima (p. 83). Así las proposiciones A = Ab y B = aB dan ambas las mismas combinaciones, mostradas en la octava columna de la tabla, y la prueba muestra que la decimosegunda, octava, decimoquinta y decimocuarta columnas se explican de este modo. Llegamos entonces a esta conclusión: La forma general de la proposición A = AB admite cuatro variedades lógicamente distintas, cada una susceptible de expresión en dos modos.
En dos columnas de la tabla, concretamente la séptima y la décima, observamos que faltan dos combinaciones. Ahora bien, una simple identidad A = B hace imposibles tanto Ab como aB, lo que explica el décimo caso; y si cambiamos B por b, la identidad A = b explica el séptimo caso. Puede haber de hecho otras dos variedades de la simple identidad, a saber, a = b y a = B; pero ya se ha demostrado en repetidas ocasiones que estas son equivalentes respectivamente a A = B y A = b (p. 115). Como de la decimosexta columna ya se ha dado cuenta por no estar regida por condiciones especiales, llegamos a la siguiente conclusión general: —Las leyes que rigen las combinaciones de dos términos deben ser capaces de expresarse ya sea en una identidad parcial o en una identidad simple; la identidad parcial es capaz de solo cuatro variedades lógicamente distintas, y la identidad simple, de dos. Toda relación lógica entre dos términos debe expresarse en una de estas seis formas de ley, o debe ser lógicamente equivalente a una de ellas.
En resumen, podemos concluir que al tratar de la identidad parcial y completa, hemos tratado exhaustivamente los modos en que dos términos o clases de objetos pueden estar relacionados. De dos clases cualesquiera se puede decir que una debe estar incluida en la otra, o debe ser idéntica a ella, o una relación similar debe existir entre una clase y la negativa de la otra. Hemos resuelto así por completo el problema lógico inverso relativo a dos términos.1
# El problema lógico inverso que involucra a tres clases.
No bien introducimos en el problema un tercer término C, cuando la investigación adquiere un carácter mucho más complejo, de modo que algunos lectores preferirán pasar por alto esta sección.
Tres términos y sus negativos pueden combinarse, como hemos visto con frecuencia, en ocho combinaciones diferentes, y el efecto de las leyes o condiciones lógicas es destruir cualquiera de estas combinaciones o varias de ellas.
Ahora bien, podemos hacer selecciones de ocho cosas de 28 o 256 maneras; de modo que no tenemos menos de 256 casos diferentes que tratar, y la solución completa es al menos cincuenta veces más laboriosa que con dos términos.
Muchas series de combinaciones, en efecto, son contradictorias, como en el problema más simple, y pueden obviarse, siendo la prueba de consistencia que cada una de las letras A, B, C, a, b, c, aparezca en alguna parte de la serie de combinaciones.