Así, puesto que la palabra Utilitarianism contiene catorce letras, de las cuales cuatro son i, dos son a y dos son t, el número de disposiciones distintas se obtendrá dividiendo el factorial de 14 entre los factoriales de 4, 2 y 2, siendo el resultado 908.107.200.
De las letras de la palabra Mississippi podemos obtener de igual manera
11!/4! × 4! × 2!
o 34.650 permutaciones, lo que no es la milésima parte de lo que obtendríamos si todas las letras fueran diferentes.
# Cálculo del número de combinaciones.
Aunque en muchas cuestiones, tanto de arte como de ciencia, necesitamos calcular el número de permutaciones debido a su propio interés, ocurre con mucha más frecuencia en los temas científicos que este interés sea solo indirecto.
Como ya he señalado, en las ciencias lógicas y matemáticas tratamos casi siempre con combinaciones, y la variedad de orden solo interviene a través de las imperfecciones inherentes a nuestros símbolos y modos de cálculo.
Los signos deben usarse en un cierto orden, y debemos retirar nuestra atención de este orden antes de que los signos representen correctamente las relaciones de las cosas que no existen ni antes ni después unas de otras.
Ahora bien, a menudo sucede que no podemos elegir todas las combinaciones de las cosas sin elegirlas primero sujetas a la variedad accidental de orden, y debemos entonces dividir por el número de variaciones posibles de orden para llegar al número verdadero de combinaciones puras.
Supongamos que deseamos determinar el número de maneras en que podemos seleccionar un grupo de tres letras del alfabeto, sin permitir que la misma letra se repita.
En la primera elección podemos tomar cualquiera de las 26 letras; en el siguiente paso quedan 25 letras, cualquiera de las cuales puede unirse a la que ya ha sido tomada; en el tercer paso habrá 24 opciones, de modo que aparentemente el número total de formas de elegir es 26 × 25 × 24.
Pero el hecho de que una elección haya sucedido a otra ha hecho que obtengamos las mismas combinaciones de letras en diferentes órdenes; obtendríamos, por ejemplo, a, p, r en un momento dado, y p, r, a en otro, y cada tres letras distintas aparecerá seis veces, porque tres cosas pueden disponerse en seis permutaciones.
Para obtener el número de combinaciones, entonces, debemos dividir el número total de formas de elegir entre seis, el número de permutaciones de tres cosas, obteniendo 26 × 25 × 24/1 × 2 × 3 o 2.600.
Es evidente que necesitamos la doctrina de las combinaciones para poder contrarrestar en muchas cuestiones el efecto exagerador de la selección sucesiva. Si de un senado de 30 personas tenemos que elegir un comité de 5, podemos elegir a cualquiera de las 30 primeras, a cualquiera de las 29 siguientes, y así sucesivamente; de hecho, habrá 30 × 29 × 28 × 27 × 26 selecciones; pero como el carácter real de los miembros del comité no se verá afectado por el orden accidental de su elección, dividimos por 1 × 2 × 3 × 4 × 5, y el número posible de comités diferentes será de 142.506.