Gradualmente se descubre que la acción y la reacción subyacen a toda la escena, y un acontecimiento independiente o casual no existe sino en apariencia. Incluso los dados al caer están seguramente determinados en su curso por condiciones previas y leyes fijas. Así se descubre que las combinaciones de acontecimientos que realmente pueden ocurrir son comparativamente restringidas, y es tarea de la ciencia detectar estas condiciones restrictivas.
En el alfabeto inglés, por ejemplo, tenemos veintiséis letras. Si las combinaciones de dichas letras fueran perfectamente libres, de modo que cualquier letra pudiera sonar indiferentemente con cualquier otra, el número de palabras que podrían formarse sin repetición alguna sería 226 - 1, o 67.108.863, igual en número a las combinaciones de la vigesimoséptima columna del Alfabeto Lógico, excluyendo una para el caso en el que todas las letras estuvieran ausentes.
Pero la formación de nuestros órganos vocales nos impide usar la inmensa mayoría de estas combinaciones de letras. Al menos una vocal debe estar presente en cada palabra; por lo general, no se pueden juntar más de dos consonantes; y para producir palabras susceptibles de una pronunciación fluida, se debe observar una serie de otras reglas.
Determinar exactamente cuántas palabras podrían existir en el idioma inglés bajo estas circunstancias sería un problema sumamente complejo, cuya solución jamás se ha intentado.
El número de palabras inglesas existentes tal vez pueda decirse que no excede de cien mil, y solo investigando las combinaciones presentadas en el diccionario podemos aprender las Leyes de la Eufonía o calcular el número posible de palabras.
En este ejemplo tenemos un epítome de la labor y el método de la ciencia. Las combinaciones de los fenómenos naturales están limitadas por un gran número de condiciones que de ningún modo llegan a nuestro conocimiento excepto en la medida en que se revelan en el examen de la naturaleza.
A menudo resulta sumamente difícil determinar el número de permutaciones o combinaciones que pueden existir bajo diversas restricciones. Muchos sabios se quebraron la cabeza en siglos pasados con los llamados versos proteicos, o versos que admiten muchas variaciones de acuerdo con las leyes de la métrica. El más célebre de estos versos fue el inventado por Bernardo Bauhusio, que dice así:1—
Un autor, Ericius Puteanus, llenó cuarenta y ocho páginas de una obra calculando sus posibles transposiciones, reduciéndolas tan solo a 1022. Otros calculistas dieron 2196, 3276, 2580 como sus resultados. Wallis asignó 3096, pero sin mucha confianza en la exactitud de su resultado.2 Se requirió la habilidad de Jakob Bernoulli para decidir que el número de transposiciones era 3312, bajo la condición de que el sentido y el metro del verso se conservaran perfectamente.
Al abordar el estudio del gran problema inductivo, es sumamente necesario que adquiramos nociones correctas sobre el número comparativo de combinaciones que pueden existir bajo diferentes circunstancias. La doctrina de las combinaciones es aquella parte de la ciencia matemática que aplica el cálculo numérico para determinar el número de combinaciones bajo diversas condiciones. Es una parte de la ciencia que realmente constituye la base no solo de otras ciencias, sino también de otras ramas de las matemáticas. Las formas de las expresiones algebraicas están determinadas por los principios de la combinación, y Hindenburg reconoció este hecho en su Análisis Combinatorio.