Solución general del problema inverso.
En el caso del método inverso descrito en la última sección, las bolas supuestas en la urna eran pocas, con el propósito de simplificar el cálculo.
Para que nuestra solución pueda aplicarse a los fenómenos naturales, debemos hacer que nuestras hipótesis sean lo menos arbitrarias posible. Al no tener ningún conocimiento a priori de las condiciones de los fenómenos en cuestión, no hay límite para la variedad de hipótesis que podrían sugerirse.
Los matemáticos han recurrido, por tanto, a las suposiciones más amplias que pueden hacerse, a saber, que la urna contiene un número infinito de bolas; han variado entonces la proporción de bolas blancas y negras de manera continua, desde la menor hasta la mayor proporción posible, y han estimado la probabilidad total que resulta de esta suposición exhaustiva.
Para explicar su procedimiento, imaginemos que, en lugar de un número infinito, la urna contiene un número finito grande de bolas, digamos 1000. Entonces el número de bolas blancas podría ser 1 o 2 o 3 o 4, y así sucesivamente, hasta 999. Suponiendo que se hayan extraído tres bolas blancas y una negra de la urna como antes, existe una cierta probabilidad muy pequeña de que esto hubiera ocurrido en el caso de una caja que contuviera una bola blanca y 999 negras; también existe una pequeña probabilidad de que de una caja así la siguiente bola fuera blanca. Compárense estas probabilidades, y tendremos la probabilidad de que la siguiente bola sea realmente blanca, como consecuencia de la existencia de esa proporción de bolas. Si hay dos bolas blancas y 998 negras en la caja, la probabilidad es mayor y aumentará hasta que se suponga que las bolas están en la proporción de las extraídas. Ahora bien, 999 hipótesis diferentes son posibles, y el cálculo debe hacerse para cada una de ellas, tomando su agregado como resultado final. Es evidente que a medida que aumenta el número de bolas en la caja, la probabilidad absoluta de cualquier hipótesis acerca de la proporción exacta de bolas disminuye, pero los resultados agregados de todas las hipótesis adquirirán el carácter de un promedio más amplio.
Cuando damos el paso de suponer que las bolas dentro de la urna son infinitas en número, las proporciones posibles de bolas blancas y negras también se vuelven infinitas, y la probabilidad de que una proporción cualquiera exista en realidad es infinitamente pequeña.
De ahí que el resultado final de que la próxima bola extraída sea blanca sea en realidad la suma de un número infinito de cantidades infinitamente pequeñas.
Podría parecer imposible calcular un problema que tiene un número infinito de hipótesis, pero los maravillosos recursos del cálculo integral permiten hacerlo con mucha mayor facilidad que si supusiéramos un número finito grande de bolas, y luego calculáramos efectivamente los resultados.
No intentaré describir los procesos mediante los cuales Laplace logró finalmente la solución completa del problema. Estos se pueden encontrar descritos en varias obras en inglés, especialmente en el Treatise on Probabilities de De Morgan, en la Encyclopædia Metropolitana y en la History of the Theory of Probability del Sr. Todhunter. El poder abreviador del análisis matemático jamás se ha mostrado de manera más llamativa.
Pero puedo añadir que, aunque el cálculo integral se emplea como un medio para sumar resultados infinitamente numerosos, de ningún modo abandonamos los principios de las combinaciones ya tratados.