primos*, o múltiplos exclusivos de la unidad. ¿Podemos deducir entonces que el siguiente, o cualquier otro número que termine en 7, es un número primo? Evidentemente no, pues al hacer la prueba descubrimos que el 27, el 57 y el 117 no son primos. Seis casos, por tanto, tratados empíricamente, nos conducen a una ley verdadera y universal en un caso, y nos desorientan en otro. De hecho, no deberíamos tener confianza en ninguna ley hasta que la hayamos tratado deductivamente y hayamos demostrado que, a partir de las condiciones supuestas, deben derivarse los resultados esperados. Nadie puede demostrar, a partir de los principios de los números, que los números que terminan en 7 deban ser primos.
De la historia de la teoría de los números se pueden aducir buenos ejemplos de inducción falsa. Tomando la siguiente serie de números primos, se descubrirá que todos coinciden en ser valores de la expresión general x2 + x + 41, sustituyendo x sucesivamente por los valores 0, 1, 2, 3, 4, etc.
Parece que siempre obtenemos un número primo, y la inducción es aparentemente sólida, en el sentido de que esta expresión siempre dará primos. Sin embargo, unas pocas pruebas más refutan esta falsa conclusión.
Hágase x = 40, y obtenemos 40 × 40 + 40 + 41, o 41 × 41. Tal fracaso nunca habría ocurrido si hubiéramos demostrado alguna razón deductiva por la cual x2 + x + 41 debería dar números primos.
No puede caber duda de que lo que aquí sucede con cuarenta casos, podría suceder con cuarenta mil o cuarenta millones de casos. Una ley aparente que no falla ni una sola vez hasta cierto punto puede entonces quebrarse repentinamente, de modo que el razonamiento inductivo, tal como ha sido descrito por algunos escritores, no puede ofrecer un conocimiento seguro de lo que está por venir.
Babbage señaló, en su Noveno Tratado de Bridgewater, que se podía construir una máquina para que diera una serie de números perfectamente regular a través de una vasta serie de pasos, y sin embargo quebrantar la ley de progresión repentinamente en cualquier punto requerido.
Ninguna cantidad de casos particulares en tanto que particulares nos permite pasar por inferencia a ningún caso nuevo. Apenas es necesario investigar aquí qué se puede inferir de una serie infinita de hechos, porque nunca están prácticamente a nuestro alcance; pero podemos aceptar sin vacilar la conclusión de que ningún número finito de instancias puede probar jamás una ley general, ni puede darnos un conocimiento seguro ni siquiera de una sola instancia más.
Los teoremas matemáticos generales han sido en verdad descubiertos mediante la observación de casos particulares, y pueden volver a ser descubiertos de ese modo. Tenemos la propia declaración de Newton en el sentido de que así fue conducido al importantísimo Teorema del Binomio, la base de toda la estructura del análisis matemático. Hablando de cierta serie de términos, que expresan el área de un círculo o una hipérbola, dice: «Reflexioné que los denominadores estaban en progresión aritmética; de modo que solo quedaba por investigar los coeficientes numéricos de los numeradores. Pero estos, en las áreas alternas, eran las cifras de las potencias del número once, a saber, 11 0 , 11 1 , 11 2 , 11 3 , 11 4 ; es decir, en la primera 1; en la segunda 1, 1; en la tercera 1, 2, 1; en la cuarta 1, 3, 3, 1; en la quinta 1, 4, 6, 4, 1.