Investigué, por tanto, de qué manera podían hallarse todas las cifras restantes a partir de las dos primeras; y descubrí que, si a la primera cifra se la llama m , todas las demás podían hallarse mediante la multiplicación continua de los términos de la fórmula
Es bastante evidente, a partir de esta interesantísima declaración, que Newton, tras haberse limitado a observar la sucesión de los números, probó varias fórmulas hasta encontrar una que concordaba con todas ellas.
Sin embargo, quedó tan poco satisfecho con este procedimiento, que verificó resultados particulares de su nuevo teorema comparándolos con los resultados de la multiplicación común y de la regla para la extracción de la raíz cuadrada.
Newton, de hecho, no dio ninguna demostración de su teorema; y los más grandes matemáticos del siglo pasado, James Bernoulli, Maclaurin, Landen, Euler, Lagrange, etc., se ocuparon de descubrir un método concluyente de prueba deductiva.
No puede caber duda de que también en geometría los descubrimientos han sido sugeridos por la observación directa. Muchas de las proposiciones hoy triviales de los Elementos de Euclides fueron probablemente descubiertas así por los antiguos geómetras griegos, y tenemos pruebas bastante claras de ello en los Comentarios de Proclo.12
Galileo fue el primero en examinar las notables propiedades de la cicloide, la curva descrita por un punto en la circunferencia de una rueda que rueda sobre un plano. Mediante la observación directa determinó que el área de la curva es aparentemente tres veces la del círculo o rueda generatriz, pero fue incapaz de demostrar esto con exactitud, o de verificarlo mediante un razonamiento geométrico riguroso.
Sir George Airy ha registrado un caso curioso, en el cual tropezó accidentalmente mediante la experimentación con una nueva propiedad geométrica de la esfera.13
Pero el descubrimiento en tales casos no significa nada más que una sugerencia, y es siempre mediante la deducción pura como se establece realmente la ley general. Como señala Proclo, debemos pasar del sentido a la consideración.
Dada, por ejemplo, la serie de figuras en el diagrama adjunto, la medición mostrará que las líneas curvas se aproximan a semicírculos, y las figuras rectilíneas a triángulos rectángulos. Estas figuras pueden parecer sugerir a la mente la ley general de que los ángulos inscritos en semicírculos son ángulos rectos; pero ningún número de casos, y ninguna precisión posible de medición establecería realmente