Se descubrió que curvas como las bien conocidas secciones del cono correspondían a ecuaciones cuadráticas; y era imposible manipular las ecuaciones sin descubrir las propiedades de esas curvas tan sumamente importantes. Quedó abierto así el camino para el tratamiento algebraico de los movimientos y las fuerzas, sin el cual los Principia de Newton nunca habrían podido elaborarse. Newton, en verdad, estaba poseído por una fuerte infatuación en favor de los antiguos métodos geométricos; pero es bien sabido que empleó métodos simbólicos para descubrir sus teoremas y, de vez en cuando, mediante algún uso accidental de expresiones algebraicas, confesó su mayor poder y generalidad.
La geometría, por otra parte, prestó una gran ayuda al álgebra al proporcionar representaciones concretas de relaciones que, de otro modo, serian demasiado abstractas para una fácil comprensión. Una curva de no mucha complejidad puede dar toda la historia de las variaciones de valor de una expresión matemática engorrosa. Tan pronto como sabemos también que toda curva geométrica regular representa alguna ecuación algebraica, la observación de los movimientos mecánicos nos ofrece abundantes sugerencias para el descubrimiento de problemas matemáticos. Cada partícula de la rueda de un coche, al moverse sobre un camino nivelado, describe constantemente una curva cicloide, cuyas curiosas propiedades pusieron a prueba el ingenio de todos los matemáticos más hábiles del siglo XVII y condujeron a importantes avances en la capacidad algebraica. Puede sostenerse que el descubrimiento del cálculo infinitesimal se debió principalmente a la analogía geométrica, porque los matemáticos, al intentar tratar algebraicamente la tangente de una curva, se vieron obligados a concebir la noción de cantidades infinitamente pequeñas.3 No cabe duda de que el método de fluxiones de Newton —es decir, su modo geométrico de plantear el cálculo diferencial—, por mucho que posteriormente haya retrasado su progreso en Inglaterra, facilitó su comprensión en un principio, y considero casi seguro que Newton descubrió los principios del cálculo de forma geométrica.
Podemos, por consiguiente, considerar este descubrimiento de la analogía, esta feliz alianza, como la llama Bossut,4 entre la geometría y el álgebra, como la principal fuente de los descubrimientos que se han hecho durante los últimos tres siglos en los métodos matemáticos.
Esta es sin duda la opinión de Lagrange, quien afirma: «Mientras el álgebra y la geometría han estado separadas, su progreso ha sido lento y su aplicación limitada; pero desde que estas dos ciencias se han unido, se han prestado fuerza mutua y han marchado juntas a paso rápido hacia la perfección».
El avance de la ciencia mecánica también ha sido grandemente ayudado por la analogía. Una existencia abstracta e intangible como la fuerza exige mucho poder de concepción, pero tiene un representante concreto perfecto en una línea, cuyo extremo puede denotar el punto de aplicación, y la dirección, la línea de acción de la fuerza, mientras que la longitud puede hacerse denotar arbitrariamente la cantidad de la fuerza. Tampoco la analogía termina aquí; pues se halla que el momento de la fuerza respecto a cualquier punto, o su producto por la distancia perpendicular de su línea de acción al punto, está representado por un área, a saber, el doble del área del triángulo comprendido entre el punto y los extremos de la línea que representa la fuerza. En los últimos años se ha efectuado una gran generalización; la Álgebra Doble de De Morgan es verdadera no sólo para las relaciones espaciales, sino para las fuerzas, de modo que el triángulo de fuerzas se reduce a un caso de suma geométrica pura. Es más, el triángulo de líneas, el triángulo de velocidades, el triángulo de fuerzas, el triángulo de pares, y quizás otros teoremas afines, se reducen por analogía a un teorema simple, el cual se reduce a esto: que hay dos maneras de ir de un vértice de un triángulo a otro, las cuales maneras,