Hemos llegado pues a la conclusión de que todo fenómeno, cuando su magnitud solo puede medirse de forma burda, tendrá una magnitud fija, o bien parecerá variar uniformemente como la distancia entre dos líneas rectas inclinadas.
Una medición más exacta puede mostrar el error de esta primera suposición, y la variación parecerá entonces ser como la de la distancia entre una línea recta y una parábola o elipse. Podemos descubrir más tarde que en realidad se requiere una curva de tercer grado o superior para representar la variación.
Propongo llamar a la variación de una cantidad lineal, elíptica, cúbica, cuártica, quíntica, etc., según se descubra que involucra la primera, segunda, tercera, cuarta, quinta o mayores potencias de la variable.
Es una regla general en la investigación cuantitativa que comencemos descubriendo leyes de variación lineales, para proceder después a las elípticas o más complicadas. Las curvas aproximadas que empleamos son todas, según el uso que De Morgan da al nombre, parábolas de un orden u otro; y dado que la parábola común de segundo orden es aproximadamente la misma que una elipse muy alargada, y es de hecho una elipse infinitamente alargada, es conveniente y apropiado llamar a la variación de segundo orden elíptica. También podría llamarse variación cuádrica.
En lo que respecta a muchos fenómenos importantes, nos encontramos aún solo en la primera etapa de aproximación. Sabemos que el sol y muchas de las llamadas estrellas fijas, especialmente el 61 Cygni, tienen un movimiento propio a través del espacio, y la dirección de este movimiento en la actualidad se conoce con cierto grado de exactitud.
Pero apenas es compatible con la teoría de la gravedad que la trayectoria de cualquier cuerpo sea realmente una línea recta. Por lo tanto, debemos considerar una trayectoria rectilínea como una mera descripción provisional del movimiento, y aguardar el momento en que se detecte su curvatura, aunque quizás deban transcurrir primero siglos.
Estamos acostumbrados a suponer que en la superficie de la tierra la fuerza de la gravedad es uniforme, debido a que la variación es de una magnitud tan leve que apenas somos capaces de detectarla. Pero en el supuesto de que pudiéramos medir la variación, hallaríamos que es simplemente proporcional a la altura.
Tomando el radio de la tierra como la unidad, sea h la altura a la que medimos la fuerza de la gravedad. Entonces, por la bien conocida ley del inverso del cuadrado, dicha fuerza será proporcional a
Pero a todas las alturas que podamos alcanzar h será una fracción tan pequeña del radio de la tierra que 3h2 será inesenciable, y la fuerza de la gravedad parecerá seguir la ley de variación lineal, siendo proporcional a 1 - 2h.
Cuando las circunstancias de un experimento se alteran considerablemente, pueden cobrar protagonismo distintas potencias de la variable.
La resistencia de un líquido a un cuerpo que se mueve a través de él puede expresarse de manera aproximada como la suma de dos términos que involucran, respectivamente, la primera y la segunda potencia de la velocidad. A velocidades muy bajas, la primera potencia es la de mayor importancia y la resistencia, como ha demostrado el profesor Stokes, es casi directamente proporcional a la velocidad. Cuando el movimiento es rápido, la resistencia aumenta en un grado aún mayor y es más próxima a ser proporcional al cuadrado de la velocidad.