Llegamos así al célebre Método de los Mínimos Cuadrados , como se le suele llamar, el cual parece haber sido puesto en práctica claramente por primera vez por Gauss en 1795, mientras que Legendre publicó por primera vez en 1806 una descripción del proceso en su obra titulada Nouvelles Méthodes pour la Détermination des Orbites des Comètes . Cabe señalar, sin embargo, que Roger Cotes había recomendado mucho antes un método de naturaleza equivalente en su tratado «Estimatio Erroris in Mixta Mathesi».
# La prueba geométrica de Herschel.
Un segundo modo de llegar a la Ley de los Errores fue propuesto por Herschel, y aunque solo es aplicable a casos geométricos, resulta notable por mostrar que, desde cualquier punto de vista en que consideremos el asunto, se descubrirá el mismo principio. Tras suponer que debe existir alguna ley general y que está sujeta a los principios de probabilidad, plantea que se deja caer una bola desde un punto elevado con la intención de que golpee una marca dada en un plano horizontal. En ausencia de cualquier causa conocida de desviación, o bien golpeará dicha marca, o bien, como es infinitamente más probable, se desviará de ella en una cantidad que debemos considerar como un error de origen desconocido. Ahora bien, para citar las palabras de Herschel:6
“la probabilidad de ese error es la función desconocida de su cuadrado, es decir, de la suma de los cuadrados de sus desviaciones en dos direcciones rectangulares. Ahora bien, dado que la probabilidad de cualquier desviación depende únicamente de su magnitud, y no de su dirección, se deduce que la probabilidad de cada una de estas desviaciones rectangulares debe ser la misma función de su propio cuadrado. Y puesto que la desviación oblicua observada equivale a las dos rectangulares, supuestas concurrentes y que son esencialmente independientes la una de la otra, y es, por tanto, un evento compuesto del cual aquellas son los componentes simples e independientes, su probabilidad será, en consecuencia, el producto de sus probabilidades separadas. Así pues, la forma de nuestra función desconocida queda determinada a partir de esta condición, a saber, que el producto de tales funciones de dos elementos independientes es igual a la misma función de su suma. Pero en toda obra de álgebra se demuestra que esta propiedad es la característica peculiar de la función exponencial o antilogarítmica, y pertenece exclusivamente a ella. Esta es, por tanto, la función del cuadrado del error que expresa la probabilidad de cometer dicho error. Dicha probabilidad disminuye, por consiguiente, en progresión geométrica, a medida que el cuadrado del error aumenta en progresión aritmética”.
# La demostración de la ley por Laplace y Quetelet.
Por mucha presunción que los métodos para determinar la Ley de Errores, ya descritos, puedan ofrecer a favor de la ley adoptada habitualmente, es difícil sentir que los argumentos son satisfactorios.
La ley adoptada se elige más bien por razones de conveniencia y plausibilidad, que porque se pueda ver que es la ley necesaria.
No obstante, podemos abordar el tema desde un punto de vista enteramente diferente y llegar aun así al mismo resultado.