16 , y podemos repetir el proceso una y otra vez. Estamos imaginando la creación de objetos, cuyos números están representados por los órdenes sucesivos de las potencias de dos .
En el primer paso tenemos 2; en el siguiente 22, o 4; en el tercero (22)2, o 16, números de una cantidad muy moderada. Que el lector calcule el término siguiente, ((22)2)2, y se sorprenderá al ver que este asciende de golpe a 65.536. Pero en el siguiente paso tiene que calcular el valor de 65.536 dos multiplicados entre sí, y es tan grande que no podríamos en modo alguno calcularlo; la mera expresión del resultado requiere 19.729 cifras. Pero demos un paso más y traspasaremos los límites de toda razón. El sexto orden de las potencias de dos se vuelve tan grande que ni siquiera podríamos expresar el número de cifras necesarias para escribirlo, sin utilizar para ello unas 19.729 cifras. Los órdenes sucesivos de las potencias de dos tienen entonces los siguientes valores hasta donde logramos describirlos:—
| Primera orden | 2 | |
|---|---|---|
| De segundo orden | 4 | |
| Tercer orden | 16 | |
| Cuarto orden | 65.536 | |
| Quinto orden, número expresado por | 19,729 | figuras. |
| Sexto orden, número expresado por cifras, para expresar el número de cuyas cifras se requerirían aproximadamente | 19,729 | figuras. |
Puede darnos alguna idea del infinito recordar que en este sexto paso, habiendo superado con creces todos los límites de la concepción intuitiva, no nos acercamos en absoluto a un límite.
Es más, si diéramos cien pasos así, estaríamos tan lejos como siempre del infinito real.
Vale la pena observar que nuestros poderes de expresión superan rápidamente la multitud posible de objetos finitos que puedan existir en cualquier espacio asignable. Arquímedes demostró hace mucho tiempo, en uno de los escritos más notables de la antigüedad, el Liber de Arcnæ Numero, que los granos de arena del mundo podían contarse, o más bien, que si se contaban, el resultado podía expresarse fácilmente en notación aritmética.
Extendamos su problema y averigüemos si podríamos expresar el número de átomos que podrían existir en el universo visible. Se supone que las estrellas más lejanas que los telescopios pueden ver ahora —las de la decimosexta magnitud— tienen una distancia de unos 33.900.000.000.000.000 de millas.
Sir W. Thomson ha expuesto razones para suponer que no existen más de entre 3 × 1024 y 1026 moléculas en un centímetro cúbico de una sustancia sólida o líquida.16
Suponiendo que estos datos sean ciertos, a efectos de argumentación, un sencillo cálculo nos permite demostrar que la esfera, casi inconcebiblemente vasta, de nuestro sistema estelar, si estuviera enteramente llena de materia sólida, no contendría más de unos 68 × 1090 átomos; es decir, un número que requiere para su expresión de 92 cifras. Ahora bien, este número sería inmensamente menor que el quinto orden de las potencias de dos.