Del mismo modo, como en la lógica
| triángulo o cuadrado = | cuadrado o triángulo, | |
|---|---|---|
| o en general | A ꖌ B = | B ꖌ A, |
| así en cantidad | 2 + 3 = | 3 + 2, |
| o en general | x + y = | y + x . |
El símbolo ꖌ no es idéntico al +, pero es hasta cierto punto análogo.
¿Hasta qué punto, ahora, es verdad que los símbolos matemáticos obedecen a la Ley de la Simplicidad expresada en la forma o en el ejemplo
Aparentemente no hay más que dos números que obedecen a esta ley; pues es seguro que solo es verdad en los dos casos en que x = 1, o x = 0.
En realidad todos los números obedecen a la ley, pues 2 × 2 = 2 no es verdaderamente análogo a AA = A. De acuerdo con la definición de unidad ya dada, cada unidad se distingue de cada una de las demás en el mismo problema, de modo que en 2′ × 2″, el primer dos implica una discriminación diferente a la del segundo dos. Obtengo cuatro clases de cosas, por ejemplo, si primero discrimino entre «pesado y ligero» y luego entre «cúbico y esférico», ya que ahora tenemos las siguientes clases:
| pesado, cúbico. | ligera, cúbica. |
|---|---|
| pesada, esférica. | ligera, esférica. |
Pero supóngase que mis dos clases están en ambos casos distinguidas por la misma diferencia de ligero y pesado, entonces tenemos
| pesado | pesado / pesada | pesado, |
|---|---|---|
| pesado | luz = | 0, |
| luz | pesado / pesada | 0, |
| luz | luz = | luz. |
Por lo tanto, (pesado o ligero) × (pesado o ligero) = (pesado o ligero).
En suma, dos por dos es dos a menos que cuidemos que el segundo dos tenga un significado diferente del primero. Pero bajo circunstancias similares, los términos lógicos dan un resultado semejante, y no es verdad que A′A″ = A′, cuando A″ tiene un significado diferente de A′.
De manera semejante puede demostrarse que la Ley de la Unidad se cumple por igual en los términos lógicos y matemáticos. Resulta en verdad absurdo decir que, salvo en el único caso en que x = cero absoluto. Pero esta contradicción x + x = x surge del hecho de que ya hemos definido las unidades de una x como diferentes de las de la otra. En tales circunstancias, la Ley de la Unidad no se aplica. Pues si en queremos decir que A″ es de algún modo diferente de A′, la aserción de identidad es evidentemente falsa.
El contraste que entonces parece existir entre los símbolos lógicos y los matemáticos es meramente aparente. Es porque las leyes de la simplicidad y la unidad deben observarse siempre en la operación de contar que dichas leyes parecen no aplicarse más allá. Esta es la condición tácita bajo la cual empleamos todos los