variedad infinita de relaciones que no tienen nada de arbitrarias. Si definimos cuatro como 1 + 1 + 1 + 1, y cinco como 1 + 1 + 1 + 1 + 1, entonces por supuesto se deduce que cinco = cuatro + 1; pero sería igualmente posible tomar esta última igualdad como definición, caso en el cual una de las igualdades anteriores se convertiría en una deducción. Apenas es necesario decidir cómo definimos los nombres de los números, siempre que recordemos que, de entre las relaciones infinitamente numerosas de un número con los demás, cierta relación expresada en una igualdad ha de ser una definición del número en cuestión y las demás relaciones se convierten inmediatamente en deducciones necesarias.
En la ciencia de los números, la variedad de clases que pueden formarse es absolutamente infinita, y se pueden formular afirmaciones de perfecta generalidad sujetas únicamente a dificultad o excepción en el extremo inferior de la escala.
Todo número existente, por ejemplo, pertenece a la clase m + 7; es decir, todo número debe ser la suma de otro número y siete, salvo por supuesto los primeros seis o siete números, sin tomar aquí en cuenta las cantidades negativas.
Todo número es la mitad de algún otro, y así sucesivamente. El tema de la generalización, tal como se manifiesta en las verdades matemáticas, es infinitamente amplio. En el número nos encontramos apenas en el primer peldaño de una extensa serie de generalizaciones.
Así como el número es general en comparación con las cosas particulares enumeradas, tenemos símbolos generales para los números y símbolos generales para las relaciones entre números indeterminados. Existe una jerarquía ilimitada de generalizaciones sucesivas.
# Razonamiento Numéricamente Definito.
Fue descubierto por primera vez por De Morgan que muchos argumentos son válidos combinando el razonamiento lógico y el numérico, a pesar de que no pueden incluirse en las antiguas fórmulas lógicas. Él desarrolló la doctrina del «Silogismo Numéricamente Definido», explicada detalladamente en su obra Formal Logic (págs. 141–170).
Boole también dedicó considerable atención a la determinación de lo que llamó «Condiciones Estadísticas», refiriéndose a las condiciones numéricas de las clases lógicas.
En un artículo publicado entre las Memoirs of the Manchester Literary and Philosophical Society, tercera serie, vol. IV, pág. 330 (Sesión 1869–70), he señalado que podemos aplicar el cálculo aritmético al Alfabeto Lógico. Dadas ciertas condiciones lógicas y los números de objetos en determinadas clases, podemos ya sea determinar los números de objetos en otras clases gobernadas por dichas condiciones, o bien mostrar qué datos adicionales se requieren para determinarlos.
Como ejemplo del tipo de cuestiones tratadas en la lógica numérica, y del modo de tratamiento, presento el siguiente problema sugerido por De Morgan, junto con mi modo de representar su solución.
“Por cada hombre en la casa hay una persona que es anciana; algunos de los hombres no son ancianos. De ello se sigue que algunas personas en la casa no son hombres.”6