Examinando estos números, descubrimos que están conectados por una serie ilimitada de relaciones, de las cuales se pueden observar algunas de las más simples.
Cada columna vertical de números corresponde exactamente con una serie oblicua que desciende de izquierda a derecha, de modo que el triángulo es perfectamente simétrico en su contenido.
La primera columna contiene únicamente unidades; la segunda columna contiene los números naturales, 1, 2, 3, etc.; la tercera columna contiene una serie notable de números, 1, 3, 6, 10, 15, etc., que desde hace tiempo se denominan números triangulares, porque corresponden al número de bolas que pueden disponerse en forma triangular, a saber:
La cuarta columna contiene los números piramidales, llamados así porque corresponden al número de esferas iguales que pueden apilarse en pirámides triangulares regulares. Sus diferencias son los números triangulares. Los números de la quinta columna tienen a los números piramidales por diferencias, pero como no existe ninguna figura regular de la cual expresen el contenido, han sido llamados arbitrariamente números trianguli-triangulares. Las columnas sucesivas, de manera similar, se ha dicho que contienen los números trianguli-piramidales, piramidopiramidales, y así sucesivamente.9
Del modo de formación de la tabla se deduce que las diferencias de los números de cada columna se encontrarán en la columna precedente de la izquierda. De ahí que las segundas diferencias, o las diferencias de diferencias, se hallarán en la segunda columna a la izquierda de cualquier columna dada, las terceras diferencias en la tercera columna, y así sucesivamente.
Así pues, podemos decir que la unidad que aparece en la primera columna es la primera diferencia de los números en la segunda columna; la segunda diferencia de los de la tercera columna; la tercera diferencia de los de la cuarta, y así sucesivamente. Puede verse que el triángulo constituye una clasificación completa de todos los números según tengan la unidad como cualquiera de sus diferencias.
Como cada línea se forma sumando la línea anterior a sí misma, es evidente que la suma de los números de cada línea horizontal debe ser el doble de la suma de los números de la línea inmediatamente superior. Por