el paralelogramo Apqr, en comparación con las distancias AB y AC, menor será la interferencia de las fuerzas. En consecuencia, los matemáticos evitan todo error considerando los movimientos como infinitamente pequeños, de modo que la interferencia pasa a ser de un orden de pequeñez infinita aún mayor, y puede despreciarse por completo. Mediante los recursos del cálculo diferencial es posible calcular el movimiento de la partícula A como si atravesara un número infinito de diagonales infinitamente pequeñas de paralelogramos. Los grandes descubrimientos de Newton surgieron en realidad de aplicar este método de cálculo a los movimientos de la luna alrededor de la tierra, la cual, mientras tiende constantemente a avanzar en línea recta, es también desviada hacia la tierra por la gravedad y se desplaza a través de una curva elíptica, compuesta por decirlo así de las diagonales infinitamente pequeñas de paralelogramos infinitamente numerosos. El matemático, en su investigación de una curva, la trata siempre como si estuviera compuesta por un gran número de líneas rectas, y puede dudarse de que pudiese tratarla de cualquier otro modo. No hay error alguno en los resultados finales, porque, una vez obtenidas las fórmulas derivadas de este suposición, cada línea recta pasa a ser considerada entonces como infinitamente pequeña, y la línea poligonal se vuelve indistinguible de una curva perfecta.18
En los teoremas matemáticos abstractos, la aproximación a la verdad absoluta es perfecta, porque podemos tratar con infinitésimos.
En la ciencia física, por el contrario, tratamos con las cantidades más pequeñas que son perceptibles. Sin embargo, al distinguir cuidadosamente entre estos dos casos diferentes, podemos aplicar sin miedo a ambos el principio de la superposición de pequeños efectos. En la ciencia física sólo hemos de procurar que los efectos sean realmente tan pequeños que cualquier efecto conjunto sea indiscutiblemente imperceptible.
Supongamos, por ejemplo, que existe alguna causa que altera las dimensiones de un cuerpo en la proporción de 1 a 1 + α, y otra causa que produce una alteración en la proporción de 1 a 1 + β. Si ambas actúan a la vez, el cambio estará en la proporción de 1 a (1 + α)(1 + β), o de 1 a 1 + α + β + αβ. Pero si α y β son ambas fracciones muy pequeñas de las dimensiones totales, αβ será aún mucho menor y puede despreciarse; la proporción de cambio es entonces aproximadamente la de 1 a 1 + α + β, o el efecto conjunto es la suma de los efectos separados.
Así, si un cuerpo estuviera sometido a tres deformaciones, en ángulos rectos entre sí, el cambio total en el volumen del cuerpo sería aproximadamente igual a la suma de los cambios producidos por las deformaciones separadas, siempre que éstas sean muy pequeñas.
Del mismo modo, no sólo la dilatación de toda sustancia sólida y líquida por el calor es aproximadamente proporcional al cambio de temperatura, cuando este cambio es muy pequeño en su cantidad, sino que la dilatación cúbica también puede considerarse tres veces mayor que la dilatación lineal. Pues si el aumento de temperatura dilata una barra de metal en la proporción de 1 a 1 + α, y la dilatación es igual en todas las direcciones, entonces un cubo del mismo metal se dilataría como 1 a (1 + α)3, o como 1 a 1 + 3α + 3α2 + α3. Cuando α es una cantidad muy pequeña, el tercer término 3α2 será imperceptible, y aún más el cuarto término α3. Los coeficientes de dilatación de los sólidos son, de hecho, tan pequeños, y tan imperfectamente determinados, que los físicos rara vez tienen en cuenta sus potencias segunda y superiores.